O logótipo DVD alguma vez acerta no canto?

Publicado a 4 de agosto de 2026

Toda a gente que viu uma proteção de ecrã DVD se perguntou o mesmo: vai acertar no canto, ou estou a perder o meu tempo?

A pergunta tem uma resposta exata. Nem uma probabilidade nem uma média: uma resposta que se calcula de antemão a partir de quatro coisas: o tamanho do ecrã, o tamanho do logótipo, a velocidade a que anda e o sítio de onde partiu. É assim que funciona, em três passos.

Passo um: o ecrã é menor do que parece

Comecemos por aquilo que efetivamente ressalta. O logótipo é um retângulo, não um ponto, por isso o que viaja é o seu canto superior esquerdo — e esse canto nunca pode chegar à margem direita do ecrã, porque o resto do logótipo está no caminho. A sua margem de manobra é o ecrã menos o logótipo.

Agora entra a velocidade. O logótipo desloca-se um número fixo de píxeis por fotograma — quatro é o habitual — por isso só pode pousar num píxel em cada 4 dessa margem. Os píxeis intermédios não são apenas raros. São inalcançáveis.

Apague-os e o quadro muda por completo. À esquerda, em baixo, cada cruzamento é um píxel e só os de cor ciano podem alojar o logótipo. À direita, esses mesmos pontos ciano sozinhos.

O que sobra é a grelha onde o problema realmente vive, e o seu tamanho é apenas:

• X = (largura do ecrã − largura do logótipo) ÷ velocidade
• Y = (altura do ecrã − altura do logótipo) ÷ velocidade

Um ecrã de 3840 × 2160 com um logótipo de 176 × 80 a 4 píxeis por fotograma não é, portanto, um problema de quatro milhões de píxeis. É um problema de 916 × 520.

É esta toda a redução. Qualquer ecrã, qualquer logótipo, qualquer velocidade: um ponto a avançar na diagonal por uma grelha de X por Y, uma casa de cada vez. Esses dois números decidem tudo o resto.

Passo dois: um só número decide se alguma vez acontece

Agora a parte que apanha as pessoas desprevenidas. Que um canto seja alguma vez alcançado nada tem a ver com quanto tempo se espera. Fica resolvido antes do primeiro fotograma.

Eis porquê. Esqueça os cantos por um momento e olhe só para as margens. A avançar na diagonal por uma grelha de X por Y, o logótipo toca numa margem esquerda ou direita a cada X fotogramas, com a regularidade de um relógio, e numa margem superior ou inferior a cada Y fotogramas. O ressalto nunca perturba esses ritmos, porque o ressalto é o ritmo — é o que significa tocar numa margem.

Um canto não é mais do que os dois alarmes a tocar no mesmo fotograma.

A pergunta deixa assim de ser geométrica e passa a ser sobre dois alarmes periódicos: sabendo em que ponto do ciclo está cada um, chegarão alguma vez a tocar juntos? Dois alarmes só podem coincidir se o intervalo entre os seus primeiros toques for múltiplo daquilo que os seus períodos têm em comum. E o que X e Y têm em comum é o seu máximo divisor comum.

É este todo o teste. Tome mdc(X, Y). Se o logótipo partiu para baixo e para a direita, só chega a um canto quando esse divisor dividir a diferença das suas coordenadas iniciais; se partiu para cima e para a direita, só quando dividir a soma delas. Caso contrário, os dois alarmes ficam desfasados para sempre, e deixar correr mais tempo não conserta um ritmo.

Duas casas iniciais lado a lado, na mesma grelha de 12 × 8, onde mdc(12, 8) = 4. A partir de (0, 4) a diferença é 4, um múltiplo certo, e os alarmes alinham-se. A partir de (1, 4) a diferença é 3, e nunca se alinharão.

Daqui sai uma regra que se aplica a olho: funciona aproximadamente uma casa inicial por cada mdc.

• mdc = 1

  Todas as posições iniciais chegam a um canto. Todas, garantidamente.

• mdc = 2

  Uma em cada 2. Metade não tem hipótese.

• mdc = 3

  Uma em cada 3.

• mdc = 4

  Uma em cada 4.

• mdc = 6

  Uma em cada 6: abaixo de 17 %.

• mdc = 12

  Uma em cada 12. Mais de 91 % não vão a lado nenhum.

E na prática nota-se. A grelha de 916 × 520 do passo um tem um mdc de 4, por isso nessa configuração três quartos das posições iniciais estão perdidos antes de o logótipo se ter mexido uma única vez.

Portanto, se está há uma hora a olhar para uma proteção de ecrã sem resultado, talvez não seja azar. Talvez esteja a ver um ciclo que, matematicamente, não pode dar nada.

Passo três: um canto inverte tudo

Mais um facto, e é dele que depende o final.

Um ressalto comum só muda metade do movimento. Bata na parede direita a ir para baixo e para a direita e o sinal horizontal inverte-se: o logótipo passa a ir para baixo e para a esquerda. A metade vertical segue completamente intacta, pelo que o logótipo continua a ganhar terreno novo.

Um canto inverte os dois sinais ao mesmo tempo. Baixo-direita passa a cima-esquerda — não uma direção nova, mas exatamente a oposta àquela com que chegou. E negar as duas metades de uma velocidade é o mesmo que carregar em rebobinar.

E é precisamente isso que acontece. Cada casa que o logótipo atravessou à ida volta a atravessá-la à volta, pela ordem inversa. Cada ressalto que deu, dá-o outra vez ao contrário. O trajeto é um palíndromo.

Um logótipo aos saltos não é, portanto, uma linha inquieta que acabará por passar por toda a parte se lhe dermos tempo suficiente. É um circuito fechado de ida e volta com um ponto de inversão em cada extremo, e esses pontos de inversão são cantos.

Voltamos a isto no final, porque resolve por completo a questão dos quatro cantos.

Quanto tempo entre acertos

Os dois alarmes do passo dois não dizem apenas se haverá canto. Puxando um pouco mais o fio, dizem de quanto em quanto tempo.

Depois de terem tocado juntos, quando é o mais cedo que podem repetir? Não antes de ter decorrido um número inteiro de ciclos de X e, ao mesmo tempo, um número inteiro de ciclos de Y. O primeiro instante que é múltiplo tanto de X como de Y é, por definição, o seu mínimo múltiplo comum. Não há mais nada a calcular.

• Para um início que funciona, há um acerto no canto a cada mmc(X, Y) fotogramas, exatamente, sem nunca derivar
• E todo o trajeto, chegue ou não a um canto, fecha-se sobre si mesmo a cada 2 × mmc(X, Y) fotogramas: ida até um ponto de inversão e volta, exatamente como descreveu o passo três

Tome o vídeo 4K a 60 fps que toda a gente partilha. O seu logótipo tem 317 posições horizontais e 186 verticais, logo X = 316 e Y = 185. Os dois são primos entre si — um mdc de 1 — o que, pelo passo dois, significa que todas as posições iniciais daquele ecrã funcionam. E mmc(316, 185) é simplesmente 316 × 185 = 58 460 fotogramas: 16 minutos, 14 segundos e 20 fotogramas.

Porque é que a sua resolução quase não conta

Vai ver «16 minutos e 14 segundos» repetido como se decorresse do 4K a 60 fps. Não decorre. Repare de que é realmente feita a resposta:

A resolução move X e Y, e move-os com suavidade: duplicar o ecrã duplica grosso modo cada um. Mas o mdc está no denominador, e um mdc não é um tamanho. É um acaso sobre que números partilham fatores, e pode saltar de 1 para 127 entre duas configurações de aspeto idêntico.

Eis o efeito. O mesmo logótipo de 284 × 128 aos mesmos 4 píxeis por fotograma, sem mudar nada além do ecrã:

• 1080p

  Grelha 409 × 238. Não partilham nada, por isso o mmc é o 409 × 238 completo: um acerto no canto a cada 27 minutos.

• 4K

  Grelha 889 × 508. Partilham um fator 127, que sai logo na divisão: a cada 59 segundos.

Quatro vezes mais píxeis, e a espera ficou 27 vezes mais curta. É o oposto da forma como isto costuma ser contado, e nada tem que ver com o 4K ser maior: deve-se a 889 e 508 partilharem 127 enquanto 409 e 238 não partilham nada.

O tamanho do logótipo faz o mesmo, com igual violência. Mantenha o ecrã em 3840 × 2160 e a velocidade em 4 píxeis por fotograma, conserve as proporções reais do logótipo e mude apenas o seu tamanho:

• logótipo de 176 px

  Grelha 916 × 520. Acerto no canto a cada 33 minutos e 5 segundos, a partir de um início em cada 4.

• logótipo de 204 px

  Grelha 909 × 517. A cada 2,18 horas, mas a partir de qualquer início.

• logótipo de 256 px

  Grelha 896 × 511. Desce para 18 minutos e 10 segundos, a partir de um início em cada 7.

• logótipo de 284 px

  Grelha 889 × 508, que partilham um fator 127. A cada 59 segundos.

• logótipo de 292 px

  Grelha 887 × 507, primos entre si. Sobe outra vez para 2,08 horas.

• logótipo de 300 px

  Grelha 885 × 506. A cada 2,07 horas. Sem tendência: dá saltos.

Mesmo ecrã, mesma taxa de fotogramas, mesma velocidade. Oito píxeis de largura do logótipo são a diferença entre esperar um minuto e esperar duas horas — um salto de 127 vezes, porque 889 e 508 partilham um fator 127 ao passo que 887 e 507 não partilham absolutamente nada. E repare que a sequência não segue tendência nenhuma. Nem tem razão para isso: está a seguir divisores, não dimensões.

A resposta não é, portanto, governada pelo tamanho de coisa alguma. Mexa em qualquer definição e a aritmética reorganiza-se de raiz.

Então quanto falta para acertar nos quatro cantos?

O que nos traz à pergunta que as pessoas realmente querem ver respondida. Se um canto demora dezasseis minutos, os quatro deviam demorar cerca de uma hora. Certo?

Não. Nunca o verá — nem numa hora, nem num ano, nem deixando-o a correr até à morte térmica do universo.

O passo três já nos deu a razão. Um canto não desvia o logótipo, inverte-o: o logótipo refaz então o seu próprio caminho até um segundo canto, inverte-se de novo e regressa. Isto é um circuito fechado com exatamente dois pontos de inversão. Os outros dois cantos não estão longe nem são improváveis. Simplesmente não estão no trajeto, e nada no sistema alguma vez os poderia lá colocar.

Nem quais dos dois lhe calham é questão de sorte. Como tudo o resto aqui, ficou fixado pela casa inicial.

A resposta honesta a «quanto falta para os quatro cantos?» não é, portanto, um número. Não há espera, porque não há acontecimento nenhum por que esperar — e isso ficou decidido antes de o logótipo ter terminado o seu primeiro ressalto.

Experimente

O nosso simulador é a forma mais rápida de ganhar sensibilidade ao ressalto, com uma ressalva honesta: lança cada logótipo com um ângulo aleatório entre 25° e 65°, e não com um 45° fixo. Foi uma escolha deliberada — fica melhor e os trajetos mantêm-se interessantes — mas significa que ali os acertos nos cantos seguem uma lógica própria em vez da aritmética limpa da grelha acima. Essa aritmética limpa pertence ao caso da diagonal exata: os leitores de DVD originais e o vídeo que medimos.

O que pode fazer é alterar todas as variáveis de que este artigo trata e ver o efeito no ressalto. Ajuste a velocidade e a escala, aumente o número de objetos para lançar vários logótipos por trajetos diferentes ao mesmo tempo, e alterne o formato de imagem entre 16:9, 9:16 e 1:1 — cada um deles um problema com outra forma.

Depois exporte em GIF, em MP4 ou WebM até 1080p, ou como ficheiro HTML autónomo que corre em ciclo eterno sem ligação à internet — se quiser deixar um a correr e ver um acerto no canto com os seus próprios olhos.

Sem marca de água, sem conta, sem custos. A sua imagem é processada pelo seu próprio navegador e não é enviada para lado nenhum.

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