Il logo DVD colpirà mai lo spigolo?

Pubblicato il 4 agosto 2026

Chiunque abbia guardato un salvaschermo DVD si è chiesto la stessa cosa: colpirà lo spigolo, o sto buttando via il mio tempo?

La domanda ha una risposta esatta. Non una probabilità, non una media: una risposta che puoi calcolare in anticipo a partire da quattro cose: quanto è grande lo schermo, quanto è grande il logo, quanto va veloce e da dove è partito. Ecco come, in tre passi.

Passo uno: lo schermo è più piccolo di quanto sembri

Partiamo da ciò che rimbalza davvero. Il logo è un rettangolo, non un punto: quindi a viaggiare è il suo spigolo in alto a sinistra, e quello spigolo non può mai raggiungere il bordo destro dello schermo, perché il resto del logo è di mezzo. Il suo margine di manovra è lo schermo meno il logo.

Ora entra in gioco la velocità. Il logo si sposta di un numero fisso di pixel a ogni fotogramma — quattro è il valore tipico — quindi può fermarsi soltanto su un pixel ogni 4 di quel margine. I pixel intermedi non sono semplicemente rari. Sono irraggiungibili.

Cancellali e il quadro cambia del tutto. A sinistra, qui sotto, ogni incrocio è un pixel e solo quelli color ciano possono ospitare il logo. A destra, gli stessi punti ciano da soli.

Ciò che resta è la griglia su cui il problema vive davvero, e la sua dimensione è semplicemente:

• X = (larghezza schermo − larghezza logo) ÷ velocità
• Y = (altezza schermo − altezza logo) ÷ velocità

Uno schermo da 3840 × 2160 con un logo da 176 × 80 a 4 pixel per fotogramma non è dunque un problema da quattro milioni di pixel. È un problema da 916 × 520.

Questa è tutta la riduzione. Qualsiasi schermo, qualsiasi logo, qualsiasi velocità: un punto che avanza in diagonale su una griglia X per Y, una casella alla volta. Quei due numeri decidono tutto il resto.

Passo due: un solo numero decide se accadrà mai

Ed ecco la parte che spiazza. Che uno spigolo venga raggiunto prima o poi non ha nulla a che fare con quanto aspetti. È deciso prima del primo fotogramma.

Ecco perché. Dimentica gli spigoli per un momento e guarda solo i bordi. Avanzando in diagonale su una griglia X per Y, il logo tocca un bordo sinistro o destro ogni X fotogrammi, con la regolarità di un orologio, e un bordo superiore o inferiore ogni Y fotogrammi. Il rimbalzo non disturba mai quei ritmi, perché il rimbalzo è il ritmo: è ciò che significa toccare un bordo.

Uno spigolo non è altro che le due sveglie che suonano nello stesso fotogramma.

La domanda smette così di essere geometrica e diventa una questione di due sveglie periodiche: sapendo a che punto del ciclo si trova ciascuna, suoneranno mai insieme? Due sveglie possono coincidere solo se la distanza fra i loro primi squilli è un multiplo di ciò che i loro periodi hanno in comune. E ciò che X e Y hanno in comune è il loro massimo comune divisore.

Questa è tutta la verifica. Prendi MCD(X, Y). Se il logo è partito verso il basso a destra, raggiunge uno spigolo solo quando quel divisore divide la differenza delle sue coordinate iniziali; se è partito verso l’alto a destra, solo quando ne divide la somma. Altrimenti le due sveglie restano sfasate per sempre, e lasciar girare più a lungo non ripara un ritmo.

Due caselle di partenza adiacenti, sulla stessa griglia 12 × 8, dove MCD(12, 8) = 4. Da (0, 4) la differenza è 4, un multiplo netto, e le sveglie si allineano. Da (1, 4) la differenza è 3, e non lo faranno mai.

Ne esce una regola applicabile a occhio: funziona all’incirca una casella di partenza ogni MCD.

• MCD = 1

  Ogni posizione di partenza raggiunge uno spigolo. Tutte quante, garantito.

• MCD = 2

  Una su 2. Metà non hanno speranza.

• MCD = 3

  Una su 3.

• MCD = 4

  Una su 4.

• MCD = 6

  Una su 6: sotto il 17 %.

• MCD = 12

  Una su 12. Oltre il 91 % non porta da nessuna parte.

E nella pratica si sente. La griglia 916 × 520 del passo uno ha un MCD di 4, quindi in quella configurazione tre quarti delle posizioni di partenza sono perse prima ancora che il logo si sia mosso una volta.

Perciò se fissi un salvaschermo da un’ora senza risultati, forse non sei sfortunato. Forse stai guardando un ciclo che matematicamente non può darti nulla.

Passo tre: uno spigolo inverte tutto

Un ultimo fatto, ed è quello da cui dipende il finale.

Un rimbalzo ordinario cambia solo metà del moto. Colpisci la parete destra andando verso il basso a destra e il segno orizzontale si ribalta: ora il logo va verso il basso a sinistra. La metà verticale prosegue del tutto intatta, quindi il logo continua a guadagnare terreno nuovo.

Uno spigolo ribalta entrambi i segni insieme. Basso-destra diventa alto-sinistra: non una direzione nuova, ma esattamente l’opposta di quella con cui è arrivato. E negare entrambe le metà di una velocità equivale a premere il riavvolgimento.

Ed è precisamente ciò che accade. Ogni casella che il logo ha attraversato all’andata la riattraversa al ritorno, in ordine inverso. Ogni rimbalzo che ha fatto lo rifà all’indietro. Il percorso è un palindromo.

Un logo che rimbalza non è dunque una linea inquieta che finirà per passare ovunque, se solo le dai abbastanza tempo. È un circuito chiuso di andata e ritorno con un punto di inversione a ciascuna estremità, e quei punti di inversione sono spigoli.

Ci torneremo alla fine, perché risolve del tutto la questione dei quattro spigoli.

Quanto passa fra un colpo e l’altro

Le due sveglie del passo due non dicono solo se arriverà uno spigolo. Tirando un po’ il filo, dicono anche ogni quanto.

Una volta che hanno suonato insieme, quand’è il momento più vicino in cui possono rifarlo? Non prima che sia trascorso un numero intero di cicli di X e, insieme, un numero intero di cicli di Y. Il primo istante che è multiplo sia di X sia di Y è, per definizione, il loro minimo comune multiplo. Non c’è altro da calcolare.

• Per una partenza che funziona, un colpo nello spigolo cade ogni mcm(X, Y) fotogrammi, esattamente, senza mai andare alla deriva
• E ogni percorso, che raggiunga uno spigolo o no, si richiude su se stesso ogni 2 × mcm(X, Y) fotogrammi: andata fino a un punto di inversione e ritorno, esattamente come descriveva il passo tre

Prendi il video 4K a 60 fps che condividono tutti. Il suo logo ha 317 posizioni orizzontali e 186 verticali, quindi X = 316 e Y = 185. I due sono coprimi — un MCD di 1 — il che, per il passo due, significa che ogni posizione di partenza su quello schermo funziona. E mcm(316, 185) è semplicemente 316 × 185 = 58.460 fotogrammi: 16 minuti, 14 secondi e 20 fotogrammi.

Perché la tua risoluzione conta pochissimo

Ti capiterà di leggere «16 minuti e 14 secondi» come se discendesse dal 4K a 60 fps. Non è così. Guarda di che cosa è fatta davvero la risposta:

La risoluzione muove X e Y, e li muove con delicatezza: raddoppiare lo schermo raddoppia grosso modo entrambi. Ma il MCD sta al denominatore, e un MCD non è una dimensione. È un accidente su quali numeri condividano fattori, e può balzare da 1 a 127 fra due configurazioni all’apparenza identiche.

Ecco l’effetto. Lo stesso logo da 284 × 128 agli stessi 4 pixel per fotogramma, senza cambiare nulla se non lo schermo:

• 1080p

  Griglia 409 × 238. Non condividono nulla, quindi il mcm resta 409 × 238 per intero: un colpo nello spigolo ogni 27 minuti.

• 4K

  Griglia 889 × 508. Condividono un fattore 127, che se ne va subito nella divisione: ogni 59 secondi.

Quattro volte i pixel, e l’attesa si è accorciata di 27 volte. È l’opposto di come viene raccontato di solito, e non c’entra nulla il fatto che il 4K sia più grande: dipende dal fatto che 889 e 508 condividono 127 mentre 409 e 238 non condividono niente.

La dimensione del logo fa lo stesso, con pari violenza. Tieni lo schermo a 3840 × 2160 e la velocità a 4 pixel per fotogramma, conserva le proporzioni reali del logo e cambia soltanto quanto è grande:

• logo da 176 px

  Griglia 916 × 520. Colpo nello spigolo ogni 33 minuti e 5 secondi, da una partenza su 4.

• logo da 204 px

  Griglia 909 × 517. Ogni 2,18 ore, ma da qualunque partenza.

• logo da 256 px

  Griglia 896 × 511. Scende a 18 minuti e 10 secondi, da una partenza su 7.

• logo da 284 px

  Griglia 889 × 508, che condividono un fattore 127. Ogni 59 secondi.

• logo da 292 px

  Griglia 887 × 507, coprimi. Risale a 2,08 ore.

• logo da 300 px

  Griglia 885 × 506. Ogni 2,07 ore. Nessuna tendenza: salta.

Stesso schermo, stesso frame rate, stessa velocità. Otto pixel di larghezza del logo sono la differenza fra un minuto di attesa e due ore: un salto di 127 volte, perché 889 e 508 condividono un fattore 127 mentre 887 e 507 non condividono proprio nulla. E nota che la sequenza non segue alcuna tendenza. Non ha motivo di farlo: segue divisori, non dimensioni.

La risposta non è dunque governata da quanto è grande alcunché. Sposta una qualsiasi impostazione e l’aritmetica si riorganizza da zero.

E allora, quanto ci vuole per tutti e quattro gli spigoli?

Il che ci porta alla domanda a cui la gente vuole davvero una risposta. Se uno spigolo richiede sedici minuti, quattro dovrebbero richiedere circa un’ora. Giusto?

No. Non lo vedrai mai: né in un’ora, né in un anno, né lasciandolo girare fino alla morte termica dell’universo.

Il passo tre ci ha già dato il motivo. Uno spigolo non devia il logo, lo inverte: il logo ripercorre quindi a ritroso il proprio cammino fino a un secondo spigolo, si inverte di nuovo e torna indietro. Questo è un circuito chiuso con esattamente due punti di inversione. Gli altri due spigoli non sono lontani né improbabili. Semplicemente non stanno sul tragitto, e nulla nel sistema potrebbe mai metterceli.

Nemmeno quali due ti tocchino è una questione di fortuna. Come tutto il resto qui, era fissato dalla casella di partenza.

La risposta onesta a «quanto ci vuole per tutti e quattro gli spigoli?» non è dunque un numero. Non c’è attesa, perché non c’è alcun evento da attendere, ed era già deciso prima che il logo finisse il suo primo rimbalzo.

Provalo tu

Il nostro simulatore è il modo più rapido per farsi un’idea del rimbalzo, con un’avvertenza onesta: lancia ogni logo con un angolo casuale fra 25° e 65°, non con un 45° fisso. È stata una scelta deliberata — rende meglio e i percorsi restano interessanti — ma significa che lì i colpi negli spigoli seguono una logica propria e non la pulita aritmetica della griglia vista sopra. Quella aritmetica pulita appartiene al caso della diagonale perfetta: i lettori DVD originali e il video che abbiamo misurato.

Quello che puoi fare è cambiare tutte le variabili su cui ruota questo articolo e osservare che effetto hanno sul rimbalzo. Regola la velocità e la scala, alza il numero di oggetti per mandare più logo su percorsi diversi nello stesso momento, e alterna il rapporto d’aspetto fra 16:9, 9:16 e 1:1: ciascuno è un problema di forma diversa.

Poi esportalo come GIF, come MP4 o WebM fino a 1080p, oppure come file HTML autonomo che gira in loop all’infinito senza connessione a internet, se vuoi lasciarne uno acceso e vedere un colpo nello spigolo con i tuoi occhi.

Nessuna filigrana, nessun account, nessun costo. La tua immagine viene elaborata dal tuo browser e non viene caricata da nessuna parte.

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