¿Llegará el logo de DVD a la esquina?

Publicado el 4 de agosto de 2026

Todo el que ha visto un salvapantallas de DVD se ha preguntado lo mismo: ¿va a tocar la esquina o estoy perdiendo el tiempo?

La pregunta tiene una respuesta exacta. Ni una probabilidad ni un promedio: una respuesta que puedes calcular de antemano a partir de cuatro cosas: el tamaño de la pantalla, el tamaño del logo, su velocidad y desde dónde partió. Así funciona, en tres pasos.

Paso uno: la pantalla es más pequeña de lo que parece

Empecemos por lo que realmente rebota. El logo es un rectángulo, no un punto, así que lo que viaja es su esquina superior izquierda, y esa esquina nunca puede llegar al borde derecho de la pantalla porque el resto del logo se lo impide. Su margen de movimiento es la pantalla menos el logo.

Ahora entra la velocidad. El logo se desplaza un número fijo de píxeles por fotograma (cuatro es lo habitual), así que solo puede posarse en uno de cada 4 píxeles de ese margen. Los píxeles intermedios no son simplemente raros: son inalcanzables.

Elimínalos y el panorama cambia por completo. En la imagen de la izquierda, cada cruce es un píxel y solo los de color cian pueden alojar el logo. A la derecha, esos mismos puntos cian por su cuenta.

Lo que queda es la rejilla donde vive de verdad el problema, y su tamaño es simplemente:

• X = (ancho de pantalla − ancho del logo) ÷ velocidad
• Y = (alto de pantalla − alto del logo) ÷ velocidad

Así que una pantalla de 3840 × 2160 con un logo de 176 × 80 a 4 píxeles por fotograma no es un problema de cuatro millones de píxeles. Es uno de 916 × 520.

Esa es toda la reducción. Cualquier pantalla, cualquier logo, cualquier velocidad: un punto que avanza en diagonal por una rejilla de X por Y, una casilla cada vez. Esos dos números deciden todo lo demás.

Paso dos: un solo número decide si llegará a ocurrir

Ahora viene lo que descoloca a la gente. Que se alcance alguna vez una esquina no tiene nada que ver con cuánto esperes. Queda resuelto antes del primer fotograma.

Este es el motivo. Olvida las esquinas un momento y fíjate solo en los bordes. Avanzando en diagonal por una rejilla de X por Y, el logo toca un borde izquierdo o derecho cada X fotogramas, como un reloj, y un borde superior o inferior cada Y fotogramas. El rebote nunca altera esos ritmos, porque el rebote es el ritmo: es lo que significa tocar un borde.

Una esquina no es más que las dos alarmas sonando en el mismo fotograma.

Así que la pregunta deja de ser geométrica y pasa a ser una cuestión de dos alarmas periódicas: dado el punto del ciclo en que está cada una, ¿sonarán juntas alguna vez? Dos alarmas solo pueden coincidir si la separación entre sus primeros toques es múltiplo de aquello que sus periodos tienen en común. Y lo que X e Y tienen en común es su máximo común divisor.

Esa es toda la prueba. Toma mcd(X, Y). Si el logo sale hacia abajo y a la derecha, llega a una esquina solo cuando ese divisor divide la diferencia de sus coordenadas iniciales; si sale hacia arriba y a la derecha, solo cuando divide su suma. En caso contrario las dos alarmas quedan desfasadas para siempre, y correr más tiempo no arregla un ritmo.

Dos casillas de inicio contiguas, en la misma rejilla de 12 × 8, donde mcd(12, 8) = 4. Desde (0, 4) la diferencia es 4, un múltiplo exacto, y las alarmas se alinean. Desde (1, 4) la diferencia es 3, y no lo harán nunca.

De ahí sale una regla que puedes aplicar a ojo: funciona aproximadamente una casilla de inicio de cada mcd.

• mcd = 1

  Todas las posiciones de inicio llegan a una esquina. Todas, garantizado.

• mcd = 2

  Una de cada 2. La mitad no tienen salida.

• mcd = 3

  Una de cada 3.

• mcd = 4

  Una de cada 4.

• mcd = 6

  Una de cada 6: menos del 17 %.

• mcd = 12

  Una de cada 12. Más del 91 % no van a ninguna parte.

Y en la práctica se nota. La rejilla de 916 × 520 del paso uno tiene un mcd de 4, así que en esa configuración tres cuartas partes de las posiciones de inicio están perdidas antes de que el logo se haya movido una sola vez.

De modo que si llevas una hora mirando un salvapantallas sin resultado, quizá no sea mala suerte. Puede que estés viendo un bucle que matemáticamente no puede darte lo que esperas.

Paso tres: una esquina lo invierte todo

Un dato más, y es del que depende el final.

Un rebote normal solo cambia la mitad del movimiento. Choca contra la pared derecha yendo hacia abajo y a la derecha y se invierte el signo horizontal: ahora va hacia abajo y a la izquierda. La mitad vertical sigue intacta, así que el logo continúa avanzando por terreno que no había recorrido.

Una esquina invierte los dos signos a la vez. Abajo y a la derecha pasa a ser arriba y a la izquierda: no es una dirección nueva, sino exactamente la contraria a aquella con la que llegó. Y negar las dos mitades de una velocidad equivale a pulsar rebobinar.

Y eso es justo lo que ocurre. Cada casilla que el logo cruzó a la ida la vuelve a cruzar a la vuelta, en orden inverso. Cada rebote que hizo lo repite hacia atrás. El recorrido es un palíndromo.

Así que un logo que rebota no es una línea inquieta que acabará pasando por todas partes si le das tiempo suficiente. Es un circuito cerrado de ida y vuelta con un punto de retorno en cada extremo, y esos puntos de retorno son esquinas.

Volveremos a esto al final, porque resuelve por completo la cuestión de las cuatro esquinas.

Cuánto pasa entre golpes

Las dos alarmas del paso dos no solo dicen si habrá esquina. Si tiras un poco más del hilo, dicen cada cuánto.

Una vez que han sonado juntas, ¿cuándo es lo antes que pueden repetirlo? No antes de que haya transcurrido un número entero de ciclos de X y, a la vez, un número entero de ciclos de Y. El primer instante que es múltiplo tanto de X como de Y es, por definición, su mínimo común múltiplo. No hay nada más que calcular.

• Para un inicio que funciona, hay un golpe en la esquina cada mcm(X, Y) fotogramas, exactamente, sin desviarse jamás
• Y todo recorrido, llegue o no a una esquina, se cierra sobre sí mismo cada 2 × mcm(X, Y) fotogramas: ida hasta un punto de retorno y vuelta, tal como describía el paso tres

Toma el vídeo 4K a 60 fps que todo el mundo comparte. Su logo tiene 317 posiciones horizontales y 186 verticales, así que X = 316 e Y = 185. Esos dos son coprimos (mcd de 1), lo que según el paso dos significa que funciona cualquier posición de inicio de esa pantalla. Y mcm(316, 185) es sencillamente 316 × 185 = 58.460 fotogramas: 16 minutos, 14 segundos y 20 fotogramas.

Por qué tu resolución apenas importa

Verás repetido «16 minutos y 14 segundos» como si se dedujera del 4K a 60 fps. No es así. Mira de qué está hecha realmente la respuesta:

La resolución mueve X e Y, y los mueve con suavidad: duplicar la pantalla más o menos duplica cada uno. Pero el mcd está en el denominador, y un mcd no es un tamaño. Es un accidente sobre qué números comparten factores, y puede saltar de 1 a 127 entre dos configuraciones que parecen idénticas.

Esto es lo que provoca. El mismo logo de 284 × 128 a los mismos 4 píxeles por fotograma, sin cambiar nada salvo la pantalla:

• 1080p

  Rejilla 409 × 238. No comparten nada, así que el mcm es el 409 × 238 completo: un golpe en la esquina cada 27 minutos.

• 4K

  Rejilla 889 × 508. Comparten un factor de 127, que se va directamente en la división: cada 59 segundos.

Cuatro veces más píxeles, y la espera se hizo 27 veces más corta. Es justo lo contrario de como suele contarse, y no tiene nada que ver con que el 4K sea más grande: es porque 889 y 508 comparten 127 y 409 y 238 no comparten nada.

El tamaño del logo hace lo mismo, y con la misma violencia. Mantén la pantalla en 3840 × 2160 y la velocidad en 4 píxeles por fotograma, conserva las proporciones reales del logo y cambia solo su tamaño:

• logo de 176 px

  Rejilla 916 × 520. Un golpe en la esquina cada 33 minutos y 5 segundos, desde una de cada 4 posiciones.

• logo de 204 px

  Rejilla 909 × 517. Cada 2,18 horas, pero desde cualquier posición de inicio.

• logo de 256 px

  Rejilla 896 × 511. Baja a 18 minutos y 10 segundos, desde una de cada 7.

• logo de 284 px

  Rejilla 889 × 508, que comparten un factor de 127. Cada 59 segundos.

• logo de 292 px

  Rejilla 887 × 507, coprimos. Sube otra vez a 2,08 horas.

• logo de 300 px

  Rejilla 885 × 506. Cada 2,07 horas. Sin tendencia: da saltos.

Misma pantalla, misma tasa de fotogramas, misma velocidad. Ocho píxeles de ancho de logo son la diferencia entre esperar un minuto y esperar dos horas: un salto de 127 veces, porque 889 y 508 comparten un factor de 127 mientras que 887 y 507 no comparten nada. Y fíjate en que la secuencia no sigue ninguna tendencia. No tiene por qué: está siguiendo divisores, no dimensiones.

Así que la respuesta no la gobierna el tamaño de nada. Mueve cualquier ajuste y la aritmética se reorganiza desde cero.

Entonces, ¿cuánto falta para que toque las cuatro esquinas?

Lo que nos lleva a la pregunta que la gente quiere ver respondida de verdad. Si una esquina tarda dieciséis minutos, las cuatro deberían llevar más o menos una hora. ¿No?

No. No lo verás nunca: ni en una hora, ni en un año, ni aunque lo dejaras funcionando hasta la muerte térmica del universo.

El paso tres ya nos dio el motivo. Una esquina no desvía el logo, lo invierte, así que el logo recorre de vuelta su propio camino hasta una segunda esquina, se invierte otra vez y regresa. Eso es un circuito cerrado con exactamente dos puntos de retorno. Las otras dos esquinas no están lejos ni son improbables. Sencillamente no están en la ruta, y nada en el sistema podría ponerlas ahí.

Tampoco es cuestión de suerte cuáles dos te tocan. Como todo lo demás aquí, quedó fijado por la casilla de inicio.

Así que la respuesta honesta a «¿cuánto falta para las cuatro esquinas?» no es un número. No hay espera, porque no hay ningún suceso al que esperar, y eso quedó decidido antes de que el logo terminara su primer rebote.

Pruébalo tú mismo

Nuestro simulador es la forma más rápida de hacerse una idea del rebote, con una salvedad que conviene decir: lanza cada logo con un ángulo aleatorio entre 25° y 65°, no con un 45° fijo. Fue una decisión deliberada (queda mejor y los recorridos resultan más interesantes), pero implica que allí los golpes en las esquinas siguen su propia lógica y no la aritmética limpia de la rejilla que hemos visto. Esa aritmética limpia pertenece al caso de la diagonal exacta: los reproductores de DVD originales y el vídeo que medimos.

Lo que sí puedes hacer es cambiar todas las variables sobre las que gira este artículo y ver cómo afectan al rebote. Ajusta la velocidad y la escala, sube el número de objetos para lanzar varios logos por caminos distintos a la vez y alterna la relación de aspecto entre 16:9, 9:16 y 1:1: cada una es un problema con una forma diferente.

Después expórtalo como GIF, como MP4 o WebM hasta 1080p, o como archivo HTML independiente que se repite eternamente sin conexión a internet, por si quieres dejar uno funcionando y ver un golpe en la esquina con tus propios ojos.

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